Question

【题目】已知函数

（1）当时，求满足方程的的值;

（2）若函数是定义在R上的奇函数.

①若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围;

②已知函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

(1)解方程求出的值即可；

(2)根据函数是定义在R上的奇函数，由定义列出方程，求出，

对于①，利用函数单调性的定义证明的单调性，利用单调性化简不等式得到，由，即可得到实数的取值范围；

对于②，由的解析式得到的解析式，化简，结合换元法以及基本不等式得到实数的最大值.11

解：（1）因为，，所以，

化简得，解得（舍）或，

所以.

（2）因为是奇函数，

所以，所以

化简变形得：

要使上式对任意恒成立，则且

解得：或，因为的定义域是，所以舍去

所以，，所以.

①，

对任意，，且有：，

因为，所以，所以，

因此在上单调递增，

因为，当时成立，所以，当时成立，

即，当时成立，

当时，，所以.

②因为，所以，

所以，

不等式恒成立，即，

令，因为且，

所以，即，

所以，当时恒成立，即，当时恒成立，

因为，，当且仅当时，等号成立，

所以，即实数的最大值为.