【题目】定义函数,其中x为自变量,a为常数.
(1)若当x∈[0,2]时,函数fa(x)的最小值为﹣1,求a的值;
(2)设全集U=R,集合A={x|f3(x)≥0},B={x|fa(x)+fa(2﹣x)=f2(2)},且(UA)∩B≠中,求a的取值范围.
【答案】(1)3;(2)
【解析】
(1)设t=2x,换元后,变为二次函数,确定新元取值范围为,按对称轴与区间
的关系求函数的最小值,从而可求得
;
(2)先求出集合UA,化简方程由题意fa(x)+fa(2﹣x)=f2(2),题意说明(a+1)(
)+2a﹣6=0在(0,log23)内有解,换元设t
,由指数函数及对勾函数性质得t∈[4,5),问题可以转化为方程
在t∈[4,5)上有解,只要求得
,t∈[4,5)的值域即可,这又可由函数单调性得出.
(1)令t=2x,∵x∈[0,2],∴t∈[1,4],
设φ(t)=t2﹣(a+1)t+a,t∈[1,4],
1°当,即a≤1时,fmin(x)=φ(1)=0,与已知矛盾;
2°当,即
,
解得a=3或a=﹣1,∵1<a<7,∴a=3;
3°当,即a≥7,fmin(x)=φ(4)=16﹣4a﹣4+a=1,
解得,但与a≥7矛盾,故舍去,
综上所述,a的值为3.
(2)UA={x|4x﹣42x+3<0}={x|0<x<log23},
B={x|4x﹣(a+1)2x+a+42﹣x﹣(a+1)22﹣x+a=6}.
由已知(UA)∩B≠即
(a+1)(
)+2a﹣6=0在(0,log23)内有解,
令t,则t∈[4,5),方程(t2﹣8)﹣(a+1)t+2a﹣6在[4,5)上有解,
也等价于方程在t∈[4,5)上有解,
∵在t∈[4,5)上单调递增,
∴h(t)∈[﹣1,2),
故所求a的取值范围是[﹣1,2).
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【题目】四名工人一天中生产零件的情况如图所示,每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产
的Ⅰ型、Ⅱ型零件数,有下列说法:
四个工人中,的日生产零件总数最大
②日生产零件总数之和小于
日生产零件总数之和
③日生产Ⅰ型零件总数之和小于Ⅱ型零件总数之和
④日生产Ⅰ型零件总数之和小于Ⅱ型零件总数之和
则正确的说法有__________(写出所有正确说法的序号)
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【题目】今年4月23日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案,“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科,“1”是指在物理和历史中必选一科,“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科.为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况,进行了一次模拟选科. 已知我校高一参与物理和历史选科的有1800名学生,其中男生1000人,女生800人. 按分层抽样的方法从中抽取了36个样本,统计知其中有17个男生选物理,6个女生选历史.
(I)根据所抽取的样本数据,填写答题卷中的列联表. 并根据统计量判断能否有
的把握认为选择物理还是历史与性别有关?
(II)在样本里选历史的人中任选4人,记选出4人中男生有人,女生有
人,求随机变量
的分布列和数学期望.(
的计算公式见下)
,临界值表:
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【题目】已知函数
(1)当时,求满足方程
的
的值;
(2)若函数是定义在R上的奇函数.
①若存在,使得不等式
成立,求实数
的取值范围;
②已知函数满足
,若对任意
且
,不等式
恒成立,求实数
的最大值
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【题目】如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,CC1,AD的中点.
(1)求异面直线EG与B1C所成角的大小;
(2)棱CD上是否存在点T,使AT∥平面B1EF?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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