Question

【题目】定义函数，其中x为自变量，a为常数．

（1）若当x∈[0，2]时，函数fa（x）的最小值为﹣1，求a的值；

（2）设全集U＝R，集合A＝{x|f3（x）≥0}，B＝{x|fa（x）+fa（2﹣x）＝f2（2）}，且（UA）∩B≠中，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）

【解析】

（1）设t＝2x，换元后，变为二次函数，确定新元取值范围为，按对称轴与区间的关系求函数的最小值，从而可求得；

（2）先求出集合UA，化简方程由题意fa（x）+fa（2﹣x）＝f2（2），题意说明（a+1）（）+2a﹣6＝0在（0，log23）内有解，换元设t，由指数函数及对勾函数性质得t∈[4，5），问题可以转化为方程在t∈[4，5）上有解，只要求得，t∈[4，5）的值域即可，这又可由函数单调性得出．

（1）令t＝2x，∵x∈[0，2]，∴t∈[1，4]，

设φ（t）＝t2﹣（a+1）t+a，t∈[1，4]，

1°当，即a≤1时，fmin（x）＝φ（1）＝0，与已知矛盾；

2°当，即，

解得a＝3或a＝﹣1，∵1＜a＜7，∴a＝3；

3°当，即a≥7，fmin（x）＝φ（4）＝16﹣4a﹣4+a＝1，

解得，但与a≥7矛盾，故舍去，

综上所述，a的值为3．

（2）UA＝{x|4x﹣42x+3＜0}＝{x|0＜x＜log23}，

B＝{x|4x﹣（a+1）2x+a+42﹣x﹣（a+1）22﹣x+a＝6}．

由已知（UA）∩B≠即（a+1）（）+2a﹣6＝0在（0，log23）内有解，

令t，则t∈[4，5），方程（t2﹣8）﹣（a+1）t+2a﹣6在[4，5）上有解，

也等价于方程在t∈[4，5）上有解，

∵在t∈[4，5）上单调递增，

∴h（t）∈[﹣1，2），

故所求a的取值范围是[﹣1，2）．