【题目】已知函数,设函数
的所有零点构成集合
,函数
的所有零点构成集合
.
(1)试求集合、
;
(2)令,求函数
的零点个数.
【答案】(1),
;(2)见解析.
【解析】
(1)解方程,可得出集合
,然后解方程
和
,可得出集合
;
(2)令,由
,可得出
,对
分
、
和
三种情况讨论,在
时,求出方程
的两根
、
,然后讨论方程
和
的判别式
、
的符号,综上可得出函数
的零点个数.
(1),令
,解得
,
,故
;
令,则
,由上面知,函数
的零点为
和
.
当时,
,即
,解得
,
;
当时,
,即
,解得
,
故;
(2)令,
,令
.
①当,
即时,方程(*)无实数解,函数
零点个数为
个;
②当时,解方程(*),得
,由
,得
,
因为,
所以该方程有两实数解,从而函数的零点个数为
个;
③当时,解方程(*)得,
,
,
由,得
,
,
由,得
,
,
因为,所以方程(***)必有两实数解;
若,即
时,方程(**)无实数解,从而函数
的零点个数为
个;
若,即
时,方程(**)有两个相等的实数解,从而函数
的零点个数为
个;
若,即
时,方程(**)有两个不等的实数解,从而函数
的零点个数为4个.
综上所述,当时,函数
的零点个数为
个;
当或
时,函数
的零点个数为
个;
当时,函数
的零点个数为
个;
当时,函数
的零点个数为
个.
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【题目】如图,在棱长均相等的四棱锥中,
为底面正方形的中心,
,
分别为侧棱
,
的中点,有下列结论正确的有:( )
A.∥平面
B.平面
∥平面
C.直线与直线
所成角的大小为
D.
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【题目】已知圆C过点A(2,6),且与直线l1: x+y-10=0相切于点B(6,4).
(1)求圆C的方程;
(2)过点P(6,24)的直线l2与圆C交于M,N两点,若△CMN为直角三角形,求直线l2的斜率;
(3)在直线l3: y=x-2上是否存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F, 使△QEF为正三角形,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数,现有一组数据,将其绘制所得的茎叶图如图所示(其中茎为整数部分,叶为小数部分.例如:
可记为
,且上述数据的平均数为
.)
(Ⅰ)求茎叶图中数据的值;
(Ⅱ)现从茎叶图中小于的数据中任取两个数据分别替换
的值,求恰有一个数据使得函数没有零点的概率.
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【题目】已知点A(-2,0),B(2,0),过点A作直线l与以A,B为焦点的椭圆交于M,N两点,线段MN的中点到y轴的距离为,且直线l与圆x2+y2=1相切,则该椭圆的标准方程是________,过A点的椭圆的最短弦长为________.
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【题目】某印刷厂为了研究单册书籍的成本(单位:元)与印刷册数
(单位:千册)之间的关系,在印制某种书籍时进行了统计,相关数据见下表:
印刷册数 | |||||
单册成本 |
根据以上数据,技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型,得到两个回归方程,方程甲:,方程乙:
.
(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务.
①完成下表(计算结果精确到);
印刷册数 | ||||||
单册成本 | ||||||
模型甲 | 估计值 | |||||
残差 | ||||||
模型乙 | 估计值 | |||||
残差 |
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和,并通过比较,判断哪个模型拟合效果更好.
(2)该书上市之后,受到广大读者热烈欢迎,不久便全部售罄,于是印刷厂决定进行二次印刷,根据市场调查,新需求量为千册,若印刷厂以每册
元的价格将书籍出售给订货商,求印刷厂二次印刷
千册获得的利润?(按(1)中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本).
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【题目】定义函数,其中x为自变量,a为常数.
(1)若当x∈[0,2]时,函数fa(x)的最小值为﹣1,求a的值;
(2)设全集U=R,集合A={x|f3(x)≥0},B={x|fa(x)+fa(2﹣x)=f2(2)},且(UA)∩B≠中,求a的取值范围.
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【题目】把函数的图象向右平移一个单位,所得图象与函数
的图象关于直线
对称;已知偶函数
满足
,当
时,
;若函数
有五个零点,则
的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
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