【题目】已知圆C过点A(2,6),且与直线l1: x+y-10=0相切于点B(6,4).
(1)求圆C的方程;
(2)过点P(6,24)的直线l2与圆C交于M,N两点,若△CMN为直角三角形,求直线l2的斜率;
(3)在直线l3: y=x-2上是否存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F, 使△QEF为正三角形,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)直线的斜率为
或者不存在;(3)存在,
或
.
【解析】
(1)设圆心坐标,半径为
,通过垂直关系和半径关系求出未知数即可;
(2)若△CMN为直角三角形,则圆心到直线的距离为,即可求解斜率;
(3)使△QEF为正三角形,即,求出点Q的坐标.
(1)设圆心坐标,半径为
,圆C过点A(2,6),且与直线l1: x+y-10=0相切于点B(6,4),
所以
即,解得
,所以
所以圆C的方程:;
(2)过点P(6,24)的直线l2与圆C交于M,N两点,若△CMN为直角三角形,
,所以△CMN为等腰直角三角形,且
,
所以圆心到直线l2的距离为
,
当直线l2的斜率不存在时,直线方程,
圆心到直线l2的距离为5,符合题意;
当直线l2的斜率存在时,设斜率为,
直线方程为,即
圆心到直线l2的距离为
,
即,
,
解得,
直线的斜率为或者不存在;
(3)若直线l3: y=x-2上存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F, 使△QEF为正三角形, 即,在
中,
设,即
解得或
所以点的坐标为
或
.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆的离心率为
,椭圆上动点
到一个焦点的距离的最小值为
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知过点的动直线l与椭圆C交于 A,B 两点,试判断以AB为直径的圆是否恒过定点,并说明理由.
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【题目】四名工人一天中生产零件的情况如图所示,每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产
的Ⅰ型、Ⅱ型零件数,有下列说法:
四个工人中,的日生产零件总数最大
②日生产零件总数之和小于
日生产零件总数之和
③日生产Ⅰ型零件总数之和小于Ⅱ型零件总数之和
④日生产Ⅰ型零件总数之和小于Ⅱ型零件总数之和
则正确的说法有__________(写出所有正确说法的序号)
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【题目】如图所示,在斜三棱柱中,底面是等腰三角形,
,
是
的中点,侧面
底面
.
(1)求证:;
(2)过侧面的对角线
的平面交侧棱
于点
,若
,求证:截面
侧面
;
(3)若截面平面
,
成立吗?请说明理由.
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【题目】【题目】已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
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【题目】某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的人的得分(满分:
分)数据,统计结果如下表所示.
组别 | |||||||
频数 |
|
(1)已知此次问卷调查的得分服从正态分布
,
近似为这
人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),请利用正态分布的知识求
;
(2)在(1)的条件下,环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.
(ⅰ)得分不低于的可以获赠
次随机话费,得分低于
的可以获赠
次随机话费;
(ⅱ)每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
赠送的随机话费/元 | ||
概率 |
现市民甲要参加此次问卷调查,记为该市民参加问卷调查获赠的话费,求
的分布列及数学期望.
附:,若
,则
,
,
.
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【题目】如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,CC1,AD的中点.
(1)求异面直线EG与B1C所成角的大小;
(2)棱CD上是否存在点T,使AT∥平面B1EF?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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