Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n且S₅=40，a₂+a₅=20．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数f（n）=a_n，且数列{b_n}满足b_n+1=f（b_n），b1=

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，求证：数列{bn-

4

3

}为等比数列，并求通项公式b_n．

Answer 1

分析：（1）根据题意，设等差数列{a_n}的公差为d，首项为a₁，由S₅=40，a₂+a₅=20，解可得d与a₁，由等差数列通项公式可得答案；
（2）由题意分析得到b_n+1=4b_n-4，对其变形可得bn+1-

4

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=4(bn-

4

3

)且b1-

4

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=1，即可得数列{bn-

4

3

}是以1为首项，公比为4的等比数列，由等比数列公式即可得答案．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，首项为a₁
则由S5=

5(a1+a5)

2

=40，可得a1+a5=16，
又由a₂+a₅=20．
则d=（a₂-a₁）=（a₂+a₅）-（a₁+a₅）=4，
a₂+a₅=20，即（a₁+d）+（a₁+4d）=20，
∴a₁=0，
∴a_n=4n-4．
（2）∵f（n）=a_n，∴f（n）=4n-4．
∵b_n+1=f（b_n），∴b_n+1=4b_n-4，
∴bn+1-

4

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=4(bn-

4

3

)且b1-

4

3

=1．
∴数列{bn-

4

3

}是以1为首项，公比为4的等比数列．
∴bn-

4

3

=4n-1，即bn=

4

3

+4n-1．

点评：本题考查等比数列的应用，解（2）的关键是分析数列{b_n}的递推公式，发现数列{bn-

4

3

}的性质．