Question

已知函数f（x）=lnx-

1

x

，g（x）=ax+b，若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx-

1

x

图象的切线，求a+b的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：设切点（m，lnm-

1

m

），求出f（x）的导数，由题意可得a=

1

m

+

1

m2

，lnm-

1

m

=ma+b，即可得到a+b=lnm-

1

m

+

1

m2

-1，令

1

m

=t＞0换元，可得a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，利用导数求其最小值即可得到a+b的最小值．

解答： 解：设切点（m，lnm-

1

m

），函数f（x）=lnx-

1

x

的导数为f′（x）=

1

x

+

1

x2

，
即有切线的斜率为

1

m

+

1

m2

，
若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx-

1

x

图象的切线，
则a=

1

m

+

1

m2

，lnm-

1

m

=ma+b，
即有b=lnm-

2

m

-1，
a+b=lnm-

1

m

+

1

m2

-1，
令

1

m

=t＞0，则a+b=-lnt-t+t²-1，
令a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，
则φ′（t）=-

1

t

+2t-1=

(2t+1)(t-1)

t

，
当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；
当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增．
即有t=1时，φ（t）取得极小值，也为最小值．
则a+b=φ（t）≥φ（1）=-1，
故a+b的最小值为-1．

点评：本题考查导数的运用：求切线的方程和求极值、最值，主要考查构造函数，通过导数判断单调区间求得极值也为最值，属于中档题．