Question

已知△ABC中，sinA+sinB=sinC（cosB+cosA），则sinA+sinB+sinAsinB的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：首先对关系式进行恒等变换，利用正弦和余弦定理证明得，三角形为直角三角形，进一步利用三角函数的恒等变换，再利用换元法求出关于t的二次函数，再利用函数的定义域求出函数关系式的值域．

解答： 解：sinA+sinB=sinC（cosB+cosA），
由正弦定理和余弦定理得：

a+b

c

=

a2+c2-b2

2ac

+

b2+c2-a2

2bc

整理得：a²+b²=c²
所以：cosC=0
则：sinB=cosA
设sinA+cosA=t
则：sinAcosA=

t2-1

2

sinA+cosA=

2

sin(A+

π

4

)
由于：0＜A＜

π

2

所以：

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

sinA+sinB+sinAsinB=

t2-1

2

+t
由于：1＜t≤

2

所以：1＜

t2-1

2

+t≤

1

2

+

2

故答案为：（1，

1

2

+

2

]

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，换元法的应用，正弦定理与余弦定理得应用．属于基础题型．