Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，左顶点为上顶点为B，△BF₁F₂是等边三角形，椭圆C上的点到F₁的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₁任意作一条直线l交椭圆C于M、N两点（均不是椭圆的顶点），设直线AM与直线l0x=-4交于P点，直线AN与l0交于Q点，请判断点F₁与以线段PQ为直径的圆 的位置关系．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意列出关于a、c的方程组，求出a、c的值，再基本量的关系式求出b²代入椭圆方程即可；
（2）根据直线l的斜率分两种情况，先判断斜率不存在的情况；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是y=k（x+1），与椭圆方程联立消去y化简后，由向量共线的条件求出P、Q的纵坐标，由韦达定理、向量的数量积运算化简

F1P

•

F1Q

即可．

解答： 解：（1）由题意得，

a=2c a+c=3

，解得a=2、c=1，则b²=4-1=3，
所以椭圆的方程是

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）得F₁（-1，0），
①当直线l的斜率不存在时，得M（-1，

3

2

），N（-1，-

3

2

），
由P、A、M三点共线得

AM

∥

AP

，P（-4，-3），同理可得Q（-4，3），
由

F1P

•

F1Q

=（-3，-3）•（-3，3）=0知，点F₁在以线段PQ为直径的圆；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是y=k（x+1），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（-4，y_p），Q（-4，y_Q），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+1)

得，（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
则x1+x2=

-8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

，
由A（-2，0），M（x₁，y₁），P三点共线得

AM

∥

AP

，
∵

AM

=（x₁+2，y₁），

AP

=（-2，y_p），∴y_p（x₁+2）+2y₁=0，
解得y_p=

-2y1

x1+2

，同理可得y_Q=

-2y2

x2+2

，
∵

F1P

=(-3，yP)，

F1Q

=(-3，yQ)，
∴

F1P

•

F1Q

=9+

4y1y2

(x1+2)(x2+2)

=9+

4k2(x1+1)(x2+1)

(x1+2)(x2+2)

=9+4k²•

4k2-12 3+4k2 +1- 8k2 3+4k2

4k2-12 3+4k2 +4- 16k2 3+4k2

=9+4k²•（-

9

4k2

）=0，
所以点F₁在以线段PQ为直径的圆；
综上可得，点F₁在以线段PQ为直径的圆．

点评：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，韦达定理，向量数量积的运算，向量共线、垂直的条件，以及直线与圆锥曲线的综合应用问题，注意直线的斜率问题，考查化简、计算能力，考查转化思想和分类讨论思想．