Question

已知

a

=(

3

cosx，sinx)，

b

=(sinx，

3

cosx)，函数f（x）=

a

•

a

+

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）已知f(

α

2

)=3，且α∈（0，π），求α的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围．进一步求出角的大小．

解答： 解：（1）已知：

a

=(

3

cosx，sinx)，

b

=(sinx，

3

cosx)
则：f（x）=

a

•

a

+

a

•

b

=3cos2x+sin2x+2

3

sinxcosx
=

3

sin2x+cos2x+2
=2sin(2x+

π

6

)+2
所以：函数的最小正周期为：T=

2π

2

=π…（2分）…（4分）
（2）由于f（x）=2sin(2x+

π

6

)+2
所以f(

α

2

)=3
解得：2sin(α+

π

6

)+2=3
所以：sin(α+

π

6

)=

1

2

…（6分）
因为：α∈（0，π），
所以：α+

π

6

∈(

π

6

，

7π

6

)
则：α+

π

6

=

5π

6

解得：α=

2π

3

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小．属于基础题型．