Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（

4

3

，

b

3

）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题设可得c²-

4

3

c+

b2

3

=0①，又点P在椭圆C上，可得

16

9a2

+

b2

9b2

=1⇒a²=2②，又b²+c²=a²=2③，①③联立解得c，b²，即可得解．
（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0（﹡），由△=0，得m²=2k²+1，假设存在M₁（λ₁，0），M₂（λ₂，0）满足题设，则由d1•d2=

|(λ1k+m)(λ2k+m)|

k2+1

=|

(λ1λ2+2)k2+(λ1+λ2)km+1

k2+1

|=1对任意的实数k恒成立．由

λ1λ2+2=1 λ1+λ2=0

 即可求出这两个定点的坐标．

解答： 解：（1）F（c，0），A（0，b），由题设可知

FA

•

FP

=0，得
c²-

4

3

c+

b2

3

=0①…（1分）
又点P在椭圆C上，∴

16

9a2

+

b2

9b2

=1⇒a²=2②
b²+c²=a²=2③…（3分）
①③联立解得，c=1，b²=1…（5分）
故所求椭圆的方程为

x2

2

+y²=1…（6分）
（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，整理，
得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0（﹡）
方程（﹡）有且只有一个实根，又2k²+1＞0，
所以△=0，得m²=2k²+1…（8分）
假设存在M₁（λ₁，0），M₂（λ₂，0）满足题设，则由d1•d2=

|(λ1k+m)(λ2k+m)|

k2+1

=|

(λ1λ2+2)k2+(λ1+λ2)km+1

k2+1

|=1对任意的实数k恒成立．
所以，

λ1λ2+2=1 λ1+λ2=0

  解得，

λ1=1 λ2=-1

或

λ1=-1 λ2=1

，
所以，存在两个定点M₁（1，0），M₂（-1，0），它们恰好是椭圆的两个焦点．…（13分）

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程的解法，考查了直线与圆锥曲线的关系，综合性较强，属于中档题．