Question

甲乙两人参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．
（Ⅰ）若一次考试中甲答对的题数为X，求X的概率分布和均值EX；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数X的可以取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和数学期望．
（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，利用排列组合知识分别求出P（A）=

2

3

，P（B）=

14

15

，因为事件A、B相互独立，求出甲、乙两人考试均不合格的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数X的可以取值为0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

，
P（X=1）=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，
P（X=2）=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

，
P（X=3）=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

，
概率分布如下：

X	0	1	2	3
P	1 30	3 10	1 2	1 6

甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×

1

30

+1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

6

=

9

5

．
（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，
则P（A）=

C 2 6 C 1 4 + C 3 6

C 3 10

=

60+20

120

=

2

3

，
P（B）=

C 2 8 C 1 2 + C 3 8

C 3 10

=

56+560

120

=

14

15

，
因为事件A、B相互独立，
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P（

.

A

•

.

B

）=（1-

2

3

）（1-

14

15

）=

1

45

，
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P（

.

A

.

B

）=1-

1

45

=

44

45

，
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

44

45

．

点评：本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识和对立事件概率计算公式的合理运用．