Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD的中点．
（1）求证：SB∥平面EAC；
（2）求点D到平面EAC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）画出图形，证明平面EAC外的直线SB与平面内的直线EO平行，即可证明SB∥平面EAC；
（2）作出点D到平面EAC的距离，通过解三角形求解距离即可．

解答： 解：（1）证明：连接BD交AC于点O，连接EO．
∵底面ABCD是正方形，
∴O是BD的中点．
又∵E是SD的中点，
∴EO∥SB．
又∵EO?平面EAC，SB?平面EAC，
∴SB∥平面EAC．
（2）∵ABCD是正方形，∴DB⊥AC
SD⊥平面ABCD，∴AC⊥平面DOE，
∴平面DOE⊥平面ACE，
作DF⊥OE于F，则OF就是点D到平面EAC的距离．
∵SD=AD=a，点E是SD的中点，
∴DE=

1

2

a，DO=

2

2

a，
∴OE=

DE2+DO2

=

( 1 2 a)2+( 2 2 a)2

=

3

2

a．
DF=

DE•D0

OE

=

1 2 a× 2 a 2

3 2 a

=

6

6

a．
∴点D到平面EAC的距离

6

6

a．

点评：本题考查直线与平面平行，直线与直线的垂直，考查学生转化思想，逻辑思维能力，是中档题．