Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，
M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE
（2）求证：DM⊥平面BEF．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结BD，BD∩AC=O，连结EO，由已知得四边形EOAM为平行四边形，由此能证明AM∥平面BDE．
（2）由AB=

2

，AF=1，得DF=DE=

3

，从而DM⊥EF，连结BM，得DM⊥BM，由此能证明DM⊥平面BEF．

解答： （1）证明：连结BD，BD∩AC=O，连结EO，
∵E，M为中点，且ACEF为矩形，∴EM∥OA，EM=OA，
∴四边形EOAM为平行四边形，∴AM=EO，
∵EO?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE．
（2）证明：由AB=

2

，AF=1，得DF=DE=

3

，
∵M是线段EF的中点，∴DM⊥EF，
连结BM，得BM=DM=

2

，又BD=2，
∴DM⊥BM，
又BM∩EF=M，∴DM⊥平面BEF．

点评：本题考查线面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用．