Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面A₁ABB₁； 
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）线段AB上是否存在点M，使得A₁M⊥平面CDB₁？

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知先证明CD⊥AB，又在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥CD，且AB∩AA₁=A，即可证明CD⊥平面A₁ABB₁； 
（Ⅱ）连结BC₁，设BC₁与B₁C的交点为E，连接DE，证得DE∥AC₁；由线面平行的判定定理即可证明AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）存在点M为B，由（Ⅰ）知CD⊥平面A₁ABB₁，又A₁B?A₁ABB₁，可得CD⊥A₁B，由已知可得A₁A：AB=BD：BB₁=1：

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，即证明A₁B⊥B₁D，又CD∩B₁D=D，从而证明A₁B⊥平面CDB₁．

解答： 证明：（Ⅰ）∵AC=BC，AC⊥BC，点D是AB的中点．
∴CD=

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AB，由勾股定理可得CD⊥AB，
又∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥CD，且AB∩AA₁=A，
∴CD⊥平面A₁ABB₁； 
（Ⅱ）连结BC₁，设BC₁与B₁C的交点为E，连结DE．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CC₁⊥底面ABC，
CC₁=BC=2，
∴四边形BCC₁B₁为正方形．
∴E为BC₁中点．
∵D是AB的中点，
∴DE∥AC₁．
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）存在点M为B，证明如下：
由（Ⅰ）知CD⊥平面A₁ABB₁，又A₁B?A₁ABB₁，
∴CD⊥A₁B，
∵AC=BC=CC₁，AC⊥BC，点D是AB的中点．
∴A₁A：AB=BD：BB₁=1：

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，
∴A₁B⊥B₁D，
又CD∩B₁D=D，
∴A₁B⊥平面CDB₁．
从而得证．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，考查了转化思想，属于中档题．