Question

已知函数f（x）=2-

ax+1

（a∈R）的图象过点（4，-1）．
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域内有且只有一个零点．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把点代入函数解析式可得：-1=2-

4a+1

，求解即可得出a的值．
（2）可根据函数解析式判断：f（x）是单调递减函数，定义域为[-

1

2

，+∞），判断出f（x）在其定义域内有一个零点．
且在（1，2）内，如果x₁＜x₂都是函数的零点，则f（x₁）=f（x₂）=0，单调递减相矛盾可判断出答案．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2-

ax+1

（a∈R）的图象过点（4，-1）．
∴-1=2-

4a+1

，3=

4a+1

，
a=2，
（2）函数f（x）=2-

2x+1

，
可根据函数解析式判断：f（x）是单调递减函数，定义域为[-

1

2

，+∞）
∴任意的x₁＜x₂，则f（x₁）＞f（x₂）
f（0）=1，
f（1）=2-

3

＞0
f（2）=2-

5

＜0，
∴f（x）在其定义域内有一个零点．且在（1，2）内，
如果x₁＜x₂都是函数的零点，
则f（x₁）=f（x₂）=0，
与单调递减相矛盾，
所以可判断f（x）在其定义域内有且只有一个零点．

点评：本题考查了函数的零点，函数的性质，反例判断的方法，属于中档题．