Question

已知A={（x，y）|y=-x²+mx-1}，B={（x，y）|x+y=3，0≤x≤3}，若A∩B是单元素集，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：A∩B中有且仅有一个元素?两个方程联立得到的二次方程有且仅有一个根；通过对判别式分类讨论，结合二次方程相应的函数列出满足条件的不等式，求出m的范围．

解答： 解：联立得：

y=-x2+mx-1 x+y=3(0≤x≤3)

，
消去y得：3-x=-x²+mx-1，即x²-（m+1）x+4=0，
∵A∩B是单元素集，
∴分两种情况考虑：
①方程有两个相等的实数根，即△=0，且

m+1

2

∈[0，3]，
可得（m+1）²-16=0，
解得：m=3或m=-5（舍去），
②△＞0时，只有一根在[0，3]上，两根之积为4＞0，
∴f（3）=3²-3（m+1）+4＜0，即m＞

10

3

，
综上，m的范围为m＞

10

3

或m=3．

点评：此题考查了交集及其运算，利用了分类讨论的思想，弄清题意是解本题的关键．