Question

方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1 的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：
①f（x）在R上单调递减；
②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；
③函数y=f（|x|）的最大值3
④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）由方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=1确定．
其中所有正确的命题序号是

 

．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：化简方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1，从而作出函数y=f（x）的图象，
①由函数的图象判断函数的单调性；
②函数的零点可转化为方程的解，再转化为函数的图象的交点，从而判断零点；
③由函数的图象的变换可求其最值；
④由函数的图象的对称性可得方程为

x|x|

16

+

y|y|

9

=1，从而判断．

解答： 解：①当x≥0且y≥0时，原方程化为

x2

16

+

y2

9

=-1，不成立；
当x＜0且y＜0时，原方程化为

x2

16

+

y2

9

=1；
当x≥0且y＜0时，原方程化为

x2

16

-

y2

9

=-1；
当x＜0且y≥0时，原方程化为-

x2

16

+

y2

9

=-1；
作出函数的图象如下，

故①正确；
②由F（x）=4f（x）+3x=0得，f（x）=-

3

4

x；
由上图知方程无解，故②正确；
③根据①所作的图象可知，函数y=f（|x|）的最大值为-3，故错误；
④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则用-x，-y分别代替x，y；
可得g（x）=-f（-x）；则函数y=g（x）的图象是方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=1确定的曲线，故正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了圆锥曲线的方程与其图象，同时考查了函数的图象及其变换，还考查了函数的图象与性质的应用，属于难题．