Question

已知函数f（x）=x³-

9

2

x²+6x-a．
（1）对?x∈R，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的零点,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）?x∈R，f′（x）≥m恒成立?m≤[f′（x）]_min，利用导数可得f′（x），再利用二次函数的单调性即可得出f′（x）的最小值；
（2）f′（x）=3（x-2）（x-1），令f′（x）=0，解得x=1，2．列出表格研究函数f（x）的单调性极值，函数f（x）有且仅有一个零点?f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0．

解答： 解：（1）函数f（x）=x³-

9

2

x²+6x-a．
f′（x）=3x²-9x+6=3(x-

3

2

)2-

3

4

，
∴[f′（x）]_min=-

3

4

．
?x∈R，f′（x）≥m恒成立?m≤[f′（x）]_min，
∴m≤-

3

4

，∴m的最大值为-

3

4

．
（2）f′（x）=3（x-2）（x-1），令f′（x）=0，解得x=1，2．
列出表格：

x	（-∞，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极大值，f（1）=

5

2

-a；x=2时，函数f（x）取得极小值，f（2）=2-a．
∵函数f（x）有且仅有一个零点，
∴f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0．
∴f（1）＜0或f（2）＞0．
解得a＞

5

2

或a＜2．
∴实数a的取值范围是a＞

5

2

或a＜2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了函数零点与利用导数研究函数的单调性极值及其图象的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．