Question

已知函数f（x）=2x²+2mx+3m+4．
（1）m为何值时，f（x）有两个零点且均比-1大．
（2）求f（x）在[0，2]上的最大值g（m）

Answer 1

考点：二次函数的性质,一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得

- m 2 ＞-1 △=4m2-8(3m+4)≥0 f(-1)=6+m＞0

，由此求得m的范围．
（2）二次函数f（x）的图象的对称轴为x=-

m

2

，再分对称轴在区间中点的左侧、右侧两种情况，结合二次函数的图象性质求得f（x）在[0，2]上的最大值g（m）．

解答： 解：（1）由

- m 2 ＞-1 △=4m2-8(3m+4)≥0 f(-1)=6+m＞0

，求得-6＜m＜3-

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．
（2）二次函数f（x）的图象的对称轴为x=-

m

2

，当-

m

2

≤1时，即m≥-2时，函数f（x）在[0，2]上的最大值为g（m）=f（2）=7m+12；
当-

m

2

＞1时，即m＜-2时，函数f（x）在[0，2]上的最大值为g（m）=f（0）=3m+4．

点评：本题主要考查二次函数的性质的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．