Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，CC₁=4，M是棱CC₁上的一点．
（1）求证：BC⊥AM；
（2）若N是AB的中点，且CN∥平面AB₁M，求CM的长．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由线面垂直得BC⊥C₁C，又BC⊥AC，从而BC⊥平面ACC₁A₁，由此能证明BC⊥AM．
（2）取AB₁的中点P，连接MP，NP，由三角形中位线定理得NP∥BB₁，从而得到PNCM是平行四边形，由此能求出CM的长．

解答： （1）证明：∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴C₁C⊥平面ABC，∴BC⊥C₁C，
又BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵AM在平面ACC₁A₁上，∴BC⊥AM．
（2）解：取AB₁的中点P，连接MP，NP，
∵P为AB₁中点，N为AB中点，
∴NP为△ABB₁的中位线，∴NP∥BB₁，
又∵C₁C，B₁B都是直三棱柱的棱，∴C₁C∥B₁B，∴MC∥B₁B，
∴NP∥CM，∴NPCM共面，
又∵CN∥平面AB₁M，∴CN

∥

.

MP，∴PNCM是平行四边形，
∴CM=NP=

1

2

BB₁=

1

2

CC₁=

1

2

×4=2．

点评：本小题线线平行、直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．