Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为：

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,不等式的解法及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求得圆的方程，由直线和圆相切的条件，可得b=

2

，由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；
（2）设A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），则y₀=kx₀，设AB交x轴于D，用k表示S_△OAB，再由基本不等式即可得到最大值．

解答： 解：（1）由题意可得x²+y²=b²，
直线l：x-y+2=0与圆O相切，有

|2|

12+12

=b，
即b=

2

，
e=

c

a

=

3

3

，又c²=a²-b²=a²-2，
解得a=

3

，
则椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）设A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），
则y₀=kx₀，设AB交x轴于D，
由对称性可得S_△OAB=2S_△OAD=2×

1

2

x₀y₀═kx₀²，
由y₀=kx₀代入

x02

3

+

y02

2

=1，
可得x₀²=

6

2+3k2

，
则S_△OAB=

6k

2+3k2

=

6

3k+ 2 k

≤

6

2 3k• 2 k

=

6

2

．
当且仅当3k=

2

k

，即k=

6

3

时，△OAB面积的最大值为

6

2

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线和圆相切的条件，运用基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．