Question

已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x-m，设G（x）=f（x）-g（x）-1
①若|G（x）|在区间[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；
②是否存在正整数a，b使得a≤G（x）≤b的解集恰是[a，b]？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：①由函数f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，我们易给出函数G（x）=f（x）-g（x）-1，①若|G（x）|在[-1，0]上是减函数，根据对折变换函数图象的特征，我们分△≤0和△＞0两种情况进行讨论，可得到满足条件的m的取值范围；
②若a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，则满足不等式组，可以求出a，b的值．

解答： 解：①G（x）=f（x）-g（x）-1=-x²+（m-2）x+2-m
令G（x）=0则△=（m-2）²-4（m-2）=（m-2）（m-6）
当△≤0，2≤m≤6时G（x）=-x²+（m-2）x+2-m≤0恒成立
所以，|G（x）|=x²+（2-m）x+m-2，在[-1，0]上是减函数，则2≤m≤6
△＞0，m＜2，m＞6时|G（x）|=|x²+（2-m）x+m-2|
因为|G（x）|在[-1，0]上是减函数
所以方程x²+（2-m）x+m-2=0的两根均大于0得到m＞6
或者一根大于0而另一根小于0且x=

m-2

2

≤-1，得到m≤0
∴m的取值范围是（-∞，0]∪[2，+∞）；
②因为a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，
所以

G(a)=a G(b)=b

由

-a2+(m-2)a+2-m=a -b2+(m-2)b+2-m=b

，
消去m，得ab-2a-b=0，显然b≠2．
所以a=

b

b-2

=1+

2

b-2

．    
因为a，b均为整数，所以b-2=±1或b-2=±2．
解得

a=3 b=3

或

a=-1 b=1

或

a=2 b=4

或

a=0 b=0

因为a＜b，且a≤

4(2-m)+(m-2)2

4

≤b
所以

a=-1 b=1

或

a=2 b=2

．

点评：本题考查的知识点是函函数图象的对折变换，函数的单调性，函数的值域，①的切入点是函数图象对折变换后的函数图象特征；②中消参思想是解答的关键．