Question

已知曲线C₁的参数方程为

x=2t-1 y=-4t-2

（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=

2

1-cosθ

（Ⅰ）求证：曲线C₂的直角坐标方程为y²-4x-4=0；
（Ⅱ）设M₁是曲线C₁上的点，M₂是曲线C₂上的点，求|M₁M₂|的最小值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把ρ=

2

1-cosθ

变形，得到ρ=ρcosθ+2，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；
（Ⅱ）由

x=2t-1 y=-4t-2

消去t得到曲线C₁的直角坐标方程为2x+y+4=0，由M₁是曲线C₁上的点，M₂是曲线C₂上的点，把|M₁M₂|的最小值转化为M₂到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2(r2-1，2r)，然后由点到直线的距离公式结合基本不等式求解．

解答： （Ⅰ）证明：∵ρ=

2

1-cosθ

，∴ρ-ρcosθ=2，即ρ=ρcosθ+2．
∴ρ²=（x+2）²，即x²+y²=x²+4x+4，
化简得：y²-4x-4=0；
（Ⅱ）解：∵

x=2t-1 y=-4t-2

，消去t得：2x+y+4=0．
∴曲线C₁的直角坐标方程为2x+y+4=0．
∵M₁是曲线C₁上的点，M₂是曲线C₂上的点，
∴|M₁M₂|的最小值等于M₂到直线2x+y+4=0的距离的最小值．
设M2(r2-1，2r)，M₂到直线2x+y+4=0的距离为d，
则d=

2|r2+r+1|

5

=

2[(r+ 1 2 )2+ 3 4 ]

5

≥

3

2 5

=

3 5

10

．
∴|M₁M₂|的最小值为

3 5

10

．

点评：本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了参数方程化普通方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础的计算题．