Question

在（a+b）ⁿ的展开式中第k项，第k+1项，第k+2项的系数成等差数列，求n和k的值．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：方程思想,二项式定理

分析：根据题意得2

C

k n

=

C

k-1 n

+

C

k+1 n

，整理得n²-（4k+1）n+4k²-2=0，讨论k、n的值，求出满足条件的k、n的值．

解答： 解：根据题意，得；
（a+b）ⁿ的展开式中第k项，第k+1项，第k+2项的系数为

C

k-1 n

、

C

k n

、

C

k+1 n

成等差数列，
∴2

C

k n

=

C

k-1 n

+

C

k+1 n

，
即2•

n!

k!•(n-k)!

=

n!

(k-1)!(n-k+1)!

+

n!

(k+1)!(n-k-1)!

，
∴2（k+1）（n-k+1）=k（k+1）+（n-k）（n-k+1），
整理得n²-（4k+1）n+4k²-2=0，
且△=（4k+1）²-4（4k²-2）=8k+9＞0；
解得n=

(4k+1)+ 8k+9

2

，或n=

(4k+1)- 8k+9

2

；
∴（8k+9）只能是一个奇数的平方，
令8k+9=（2m+1）²，m∈N^*；
∴8k=（2m+1）²-9=4m²+4m-8，
k=

m2+m-2

2

，
此时n=

(4k+1)+(2m+1)

2

=2k+m+1=（m+2）（m-1）+m+1=m²+2m-1；
∴k=

m2+m-2

2

，n=m²+2m-1，其中m∈N^*．

点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了一元二次方程的解法与应用问题，是难题．