Question

已知函数f（x）=lnx-kx+1（k∈R）．
（Ⅰ）若x轴是曲线f（x）=lnx-kx+1一条切线，求k的值；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

1

x

-k=0，可得切点的坐标，进而可求k的值；
（2）确定函数的单调区间，k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（

1

k

），由此能确定实数k的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

1

x

-k=0，
∴x=

1

k

，
由ln

1

k

-1+1=0，可得k=1；
（2）当k≤0时，f′（x）=

1

x

-k＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k＞0时，若x∈（0，

1

k

）时，有f′（x）＞0，若x∈（

1

k

，+∞）时，有f′（x）＜0，
则f（x）在（0，

1

k

）上是增函数，在（

1

k

，+∞）上是减函数．
k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，
而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，
∵f（x）的最大值为f（

1

k

），要使f（x）≤0恒成立，
则f（

1

k

）≤0即可，即-lnk≤0，得k≥1．

点评：本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，渗透了分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．