Question

设函数f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|（a∈R）．
（1）若a为大于等于

3

2

的常数，求函数f（x）的最小值，并记为m（a）；
（2）若函数f（x）的最小值大于3，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,压轴题,函数的性质及应用

分析：（1）讨论去绝对值号函数f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|=

(x+ 1 2 )2+(a+1)2+a- 5 4 ，x＞1-a (x- 1 2 )2+(a+1)2-a+ 3 4 ，x≤1-a

，从而分别求最小值，再利用分段函数求最小值；
（2）讨论去绝对值号函数f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|=

(x+ 1 2 )2+(a+1)2+a- 5 4 ，x＞1-a (x- 1 2 )2+(a+1)2-a+ 3 4 ，x≤1-a

，再根据二次函数的单调性及分段函数的单调性从而求函数的最小值，再令最小值大于3，从而求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|=

(x+ 1 2 )2+(a+1)2+a- 5 4 ，x＞1-a (x- 1 2 )2+(a+1)2-a+ 3 4 ，x≤1-a

，
∵a≥

3

2

，∴1-a≤-

1

2

；
当x＞1-a时，f（x）_min=f（-

1

2

）=（a+1）²+a-

5

4

，
当x≤1-a时，f（x）_min=f（1-a）=2+2a²，
又2+2a²-[（a+1）²+a-

5

4

]=（a-

3

2

）²≥0，
∴m（a）=（a+1）²+a-

5

4

；
（2）函数f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|=

(x+ 1 2 )2+(a+1)2+a- 5 4 ，x＞1-a (x- 1 2 )2+(a+1)2-a+ 3 4 ，x≤1-a

，
①当1-a≤-

1

2

，即a≥

3

2

时，
f（x）_min=f（-

1

2

）=（a+1）²+a-

5

4

＞3，
解得，a＜-

3+ 22

2

或a＞

-3+ 22

2

；
故a≥

3

2

；
②当-

1

2

＜1-a＜

1

2

，即

1

2

＜a＜

3

2

时，
f（x）_min=f（1-a）=2+2a²＞3；
解得，a＞

2

2

或a＜-

2

2

；
故

2

2

＜a＜

3

2

；
③当1-a≥

1

2

，即a≤

1

2

时，
f（x）_min=f（

1

2

）=（a+1）²-a+

3

4

＞3，
解得，a＜-

1+ 6

2

或a＞

-1+ 6

2

；
故a＜-

1+ 6

2

；
综上所述，a＜-

1+ 6

2

或a＞

2

2

．

点评：本题考查了绝对值函数的化简与段函数的最值的求法，同时考查了分类讨论的数学思想应用属于难题．