Question

已知函数f（x）=x²-ax-alnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值．
（2）在（1）的条件下，求证：f（x）≥-

x3

3

+

5x2

2

-4x+

11

6

；
（3）当x∈[e，+∞），f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用函数f（x）在x=1处取得极值，可得f′（1）=0，即可求a的值．
（2）构造g（x）=f（x）-（-

x3

3

+

5x2

2

-4x+

11

6

），可知g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，即可证明结论；
（3）当x∈[e，+∞），f（x）≥0恒成立，等价于a≤

x2

x+lnx

在x∈[e，+∞）时恒成立，求最值，即可求a的取值范围．

解答： （1）解：f′(x)=2x-a-

a

x

，由题意可得f′（1）=0，解得a=1；
经检验，a=1时f（x）在x=1处取得极值，所以a=1．（3分）
（2）证明：由（1）知，f（x）=x²-x-lnx．
令g(x)=f(x)-(-

x3

3

+

5x2

2

-4x+

11

6

)=

x3

3

-

3x2

2

+3x-lnx-

11

6

，
由g′(x)=x2-3x+3-

1

x

=

x3-1

x

-3(x-1)=

(x-1)3

x

(x＞0)，
可知g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
所以g（x）≥g（1）=0，所以f(x)≥-

x3

3

+

5x2

2

-4x+

11

6

成立；（8分）
（3）解：由x∈[e，+∞）知，x+lnx＞0，
所以f（x）≥0恒成立等价于a≤

x2

x+lnx

在x∈[e，+∞）时恒成立，
令h(x)=

x2

x+lnx

，x∈[e，+∞），有h′(x)=

x(x-1+2lnx)

(x+lnx)2

＞0，
所以h（x）在[e，+∞）上是增函数，有h(x)≥h(e)=

e2

e+1

，所以a≤

e2

e+1

．（12分）

点评：本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值的情况．本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求．