Question

数列{a_n}满足a₁=

π

6

，tana_n+1=seca_n＞0（n∈N^*），（这里：secα=

1

cosα

，secα是表示α的正割）
（1）证明数列{tan²a_n}为等差数列；
（2）求正整数m，使得sina₁•sina₂…sina_m=

1

100

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意和同角三角函数基本关系式可得tan²a_n+1-tan²a_n=1，求出tan²a₁的值，利用等差数列的定义即可证明；
（2）由等差数列的通项公式求出tan²a_n，由条件求出cosa_n，利用同角三角函数基本关系式可得tana_n=

sinan

cosan

，由题意得tana_n+1=seca_n=

1

cosαn

，代入sina₁•sina₂•…•sina_m进行化简，结合等式列出关于m的方程，即可求出m的值．

解答： 证明：（1）由题意得，tana_n+1=seca_n＞0（n∈N^*），
所以tan²a_n+1=sec²a_n=

1

cos2αn

=

sin2an+cos2an

cos2αn

=1+tan²a_n，
则tan²a_n+1-tan²a_n=1，
∵a₁=

π

6

，则tan²a₁=

1

3

，
∴数列{tan²a_n}是以

1

3

首项、以1为公差等差数列；
解：（2）由（1）可得，tan²a_n=

1

3

+（n-1）=

3n-2

3

，
∵

1

cos2αn

=1+tan²a_n，∴cos²a_n=

1

1+tan2αn

=

3

3n+1

，
由tana_n+1=seca_n＞0（n∈N^*）得，cosa_n=

3 3n+1

，
∵tana_n=

sinan

cosan

，tana_n+1=seca_n=

1

cosαn

，
∴sina₁•sina₂•…•sina_m=（tana₁cosa₁）•（tana₂•cosa₂）•…•（tana_m•cosa_m）
=（tana₁•cosa₁）•（

1

cosα1

•cosa₂）•…•（

1

cosαm-2

•cosa_m-1）•（

1

cosαm-1

•cosa_m）
=（tana₁•cosa_m）=

3

3

•

3 3m+1

，
由题意得，

3

3

•

3 3m+1

=

1

100

，解得m=3333．

点评：本题是数列与三角函数的综合题，比较新颖，考查等差数列的定义、通项公式，同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与化简能力，属于难题．