Question

如图，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=

6

3

，过F₁ 的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF₂的周长为4

3

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P（0，2）的动直线l与椭圆E相交于C，D两点，O为原点，求△COD面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由△ABF₂的周长为4

3

，又|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a可解得a，又e=

c

a

=

6

3

可解得c，b²，从而可求椭圆方程．
（2）易知直线l的斜率k存在，设其方程为y=kx+2，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．则由 

y=kx+2 x2+3y2=3

 消去y得x₁+x₂=

-12k

3k2+1

，x₁x₂=

9

3k2+1

，又原点到直线l的距离可求d=

|2|

k2+1

，且|CD|=

(1+k2)

|x₁-x₂|，从而可求S_△COD=

1

2

×|CD|×d=|x₁-x₂|，设

k2-1

=t（t＞0），则k²=t²+1，由基本不等式即可求△COD面积的最大值．

解答： 解：（1）∵△ABF₂的周长为4

3

，
∴|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4

3

，即|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=4

3

，
又|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a
∴4a=4

3

，得a=

3

                          …（2分）
又∵e=

c

a

=

6

3

∴c=

2

，b²=1              …（4分）
∴所求椭圆方程为

x2

3

+y2=1．                      …（5分）
（2）易知直线l的斜率k存在，设其方程为y=kx+2．…（6分）
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
则由 

y=kx+2 x2+3y2=3

 消去y得：（3k²+1）x²+12kx+9=0，…（7分）
由△=（12k）²-4×（3k²+1）×9＞0，得k²＞1．
则x₁+x₂=

-12k

3k2+1

，x₁x₂=

9

3k2+1

．…（8分）
又原点到直线l的距离为d=

|2|

k2+1

，且|CD|=

(1+k2)

|x₁-x₂|，
所以S_△COD=

1

2

×|CD|×d=

1

2

×

(1+k2)

|x₁-x₂|×

|2|

k2+1

=|x₁-x₂|，…（10分）
【或S_△COD=|S_△POC-S_△POD|=

1

2

×2×|x₁-x₂|=|x₁-x₂|】，
因为|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( -12k 3k2+1 )2- 36 3k2+1

=

6 k2-1

3k2+1

，…（11分）
设

k2-1

=t（t＞0），则k²=t²+1，
∴S_△COD=|x₁-x₂|=

6 k2-1

3k2+1

=

6t

3t2+4

=

6

3t+ 4 t

≤

6

2 3t× 4 t

=

3

2

，…（13分）
当且仅当t²=

4

3

，即k²-1=

4

3

，即k²=

7

3

时等号成立，
所以△COD面积取得最大值

3

2

．                         …（14分）

点评：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．