Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n=

an-1

1+3an-1

（n≥2，n∈N^*）
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（2）b_n=

1

an

，求数列{b_n}的通项公式；
（3）设数列{c_n}满足c_n=（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1，且{c_n}的前n项和S_n，若Sn≥tn²对n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

1

an

=

1+3an-1

an-1

=

1

an-1

+3，

1

a1

=1，由此能证明数列{

1

an

}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）利用等差数列的通项公式，根据b_n=

1

an

，能求出数列{b_n}的通项公式．
（3）对n分奇数与偶数讨论，利用等差数列的前n项和公式、分离参数、基本不等式的性质，由Sn≥tn²对n∈N^*恒成立，能求出实数t的取值范围．

解答： （1）证明：∵a₁=1，a_n=

an-1

1+3an-1

（n≥2，n∈N^*）
∴

1

an

=

1+3an-1

an-1

=

1

an-1

+3，

1

a1

=1，
∴数列{

1

an

}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）解：∵数列{

1

an

}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴b_n=

1

an

=1+（n-1）×3=3n-2．
（3）解：∵数列{c_n}满足c_n=（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1，b_n=3n-2．
∴当n为偶数时，
S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_n-1b_n-b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）
=-6（b₂+b₄+…+b_n）
=-6×

n 2 (4+3n-2)

2

=-

3

2

，即t≤-

3

2

对n取任意正偶数都成立．
∴t≤-6．
当n为奇数时，
S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_n-1b_n-b_nb_n+1
=-

3

2

（n-1）[3（n-1）+3]+（3n-2）（3n+1）
=

9

2

n²+3n-

7

2

＞0，
对t≤-6时S_n≥tn²恒成立，
综上：t≤-6．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．