Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F分别为PD，AC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求点F到平面ABE的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）取PA中点M，AB中点N，连接MN，NF，ME，容易证明四边形MNFE为平行四边形，所以EF∥MN，利用线面平行的判定定理得到EF∥平面PAB；
（2）F到平面ABE的距离等于D到平面ABE的距离的一半且DE=

2

，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）证明：分别取PA和AB中点M，N，连接MN、ME、NF，
则NF∥AD，且NF=

1

2

AD，ME∥AD，且ME=

1

2

AD，
所以NF∥ME，且NF=ME，
所以四边形MNFE为平行四边形；
所以EF∥MN，
又EF?平面PAB，MN?平面PAB，
所以EF∥平面PAB；

（2）解：因为四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为PD的中点，
所以PD⊥AE，
因为PD⊥AB，AB∩AE=A，
所以PD⊥平面ABE，即DE为D到平面ABE的距离，
因为F到平面ABE的距离等于D到平面ABE的距离的一半且DE=

2

，
所以F到平面ABE的距离等于

2

2

．

点评：本题考查点到平面的距离，考查线面平行的判定定理，正确运用线面平行的判定定理是关键．