Question

如图，设四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=

2

a点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）
（1）求证：对任意的λ∈（0，2]，都有AC⊥BE；
（2）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若cosθ=sinφ，求λ的值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）因为SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理只要证AC⊥BD即可．
（2）先找出θ和φ，因为由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，二面角C-AE-D的平面角可由三垂线定理法作出．再用λ表示出tanθ和tanφ，代入tanθ•tanφ=1，解方程即可．

解答： （1）证明：连接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE
（2）解：由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，
∵SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴SD⊥CD．
又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．
连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，
故∠CFD是二面角C-AE-D的平面角，即∠CFD=θ．
在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=λa，
∴tanφ=

DE

BD

=

λ

2

在Rt△ADE中，∵AD=

2

a，DE=λa∴AE=a

λ2+2

从而DF=

AD•DE

AE

=

2 λa

λ2+2

在Rt△CDF中，tanθ=

CD

DF

=

λ2+2

λ

．
由sinφ=cosθ?θ+φ=

π

2

?tanθ•tanφ=1，得

λ2+2

λ

•

λ

2

=1
即

λ2+2

=2，所以λ²=2．
由0＜λ≤2，解得λ=

2

，即为所求．

点评：本题考查空间线线垂直的证明、空间垂直之间的相互转化、空间角的求解，考查逻辑推理能力和运算能力．