Question

如图，ABCD为梯形，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=

3

a，PD=

3

a，E为BC中点
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE；
（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结BD，由已知得BC⊥DE，BC⊥PD，从而BC⊥平面PDE，由此能证明平面PBC⊥平面PDE．
（Ⅱ）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，从而△AOB∽△COD，AB=

1

2

DC，进而△CPA中，AO=

1

3

AC，由PF=

1

3

PC，得OF∥PA，由此得到当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：连结BD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=a，DA=

3

a，
所以BD=DC=2a，E为BC中点，
所以BC⊥DE，…（3分）
又因为PD⊥平面ABCD，所以BC⊥PD，
因为DE∩PD=D，…（4分），所以BC⊥平面PDE，…（5分）
因为BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE．…（6分）
（Ⅱ）解：当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，
PA∥平面BDF，…（7分）
连结AC，BD交于O点，AB∥CD，所以△AOB∽△COD，AB=

1

2

DC，
所以△CPA中，AO=

1

3

AC，…（10分）
而PF=

1

3

PC，所以OF∥PA，…（11分）
而OF?平面BDF，PA?平面BDF，
所以PA∥平面BDF．…（12分）

点评：本题考查面面垂直的证明，考查线面平行时点的位置的确定与证明，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．