Question

已知空间四边形OABC，棱OA，OB，OC相互垂直，且OA=OB=BC=1，N是OC的中点，点M在AB上，且MN⊥AB，求MN与AB的比值．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：构造棱长为1的正方体DEBF-PAOC，OA，OB，OC是正方体中过同一顶点O的三条棱，以D为原点，DE为x轴，DF为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出MN与AB的比值．

解答： 解：构造如图所示的棱长为1的正方体DEBF-PAOC，
OA，OB，OC是正方体中过同一顶点O的三条棱，
以D为原点，DE为x轴，DF为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（1，0，1），B（1，1，0），N（

1

2

，1，1），

AB

=（0，1，-1），
设

AM

=t

AB

，0≤t≤1，M（1，a，b），
则（0，a，b-1）=（0，t，-t），∴a=t，b=1-t，
∴M（1，t，1-t），∴

MN

=（-

1

2

，1-t，t），
∵MN⊥AB，∴

MN

•

AB

=1-t-t=0，解得t=

1

2

，
∴M（1，

1

2

，

1

2

），|

MN

|=

1 4 + 1 4 + 1 4

=

3

2

，
又|

AB

|=

0+1+1

=

2

，
∴MN与AB的比值为

| MN |

| AB |

=

3

2 2

=

6

4

．

点评：本题考查两条线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用，注意空间向量在立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．