Question

已知△ABC中tanA=3，

AP

=

1

3

AB

+

2

3

AC

，

AD

=λ（

AB

| AB |•cosB

+

AC

| AC |•cosC

）且

AP

∥

AD

，则tanB=（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、1
• D、

  3

  2

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由

AD

=λ（

AB

| AB |•cosB

+

AC

| AC |•cosC

）可得

AD

•

CB

=λ(

AB • CB

| AB |cosB

+

AC • CB

| AC |cosC

)=0，可得

AD

⊥

CB

．又

AP

∥

AD

，可得

AP

⊥

BC

．由

AP

=

1

3

AB

+

2

3

AC

，不妨设PC=1，则BP=2．AP=x．可得tan∠BAP=

2

x

，tan∠CAP=

1

x

．利用tan∠BAC=tan（∠BAP+∠CAP）=

tan∠BAP+tan∠CAP

1-tan∠BAPtan∠CAP

=3，解得x．在△ABP中，利用tanB=

AP

BP

即可得出．

解答： 解：∵

AB

•

CB

=|

AB

||

CB

|cosB，

AC

•

BC

=|

AC

||

BC

|cosC，

AD

=λ（

AB

| AB |•cosB

+

AC

| AC |•cosC

）
∴

AD

•

CB

=λ(

AB • CB

| AB |cosB

+

AC • CB

| AC |cosC

)=λ(|

CB

|-|

BC

|)=0，
∴

AD

⊥

CB

．
∵

AP

∥

AD

，
∴

AP

⊥

BC

．
∵

AP

=

1

3

AB

+

2

3

AC

，
∴设PC=1，则BP=2．AP=x．
则tan∠BAP=

2

x

，tan∠CAP=

1

x

．
∴tan∠BAC=tan（∠BAP+∠CAP）=

tan∠BAP+tan∠CAP

1-tan∠BAPtan∠CAP

=

2 x + 1 x

1- 2 x2

=3，
化为x²-x-2=0，
解得x=2．
在△ABP中，tanB=

AP

BP

=1，
故选：C．

点评：本题考查了向量的数量积运算性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、两角和差的正切公式、直角三角形的边角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．