Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，P为线段B₁D₁上一点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BP；
（Ⅱ）当P为线段B₁D₁的中点时，求三棱锥A-PBC的高．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明AC⊥平面BB₁D₁D，即可证明AC⊥BP；
（Ⅱ）当P为线段B₁D₁的中点时，利用V_A-PBC=V_P-ABC，求三棱锥A-PBC的高．

解答： （Ⅰ）证明：连结BD．
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，且AB=BC=2，
所以四边形ABCD是正方形，（1分）
所以AC⊥BD．（2分）
因为在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以AC⊥BB₁．（4分）
因为BD?平面BB₁D₁D，BB₁?平面BB₁D₁D，且BD∩BB₁=B，
所以AC⊥平面BB₁D₁D．（5分）
因为BP?平面BB₁D₁D，所以AC⊥BP（6分）
（Ⅱ）解：点P到平面ABC的距离AA₁=4，△ABC的面积S△ABC=

1

2

•AB•BC=2，（7分）
所以VP-ABC=

1

3

S△ABC•AA1=

1

3

×2×4=

8

3

．（8分）
在Rt△BB₁P中，BB1=4，B1P=

2

，所以BP=3

2

，（9分）
同理CP=3

2

．又BC=2，所以△PBC的面积S△PBC=

1

2

×2×

(3 2 )2-12

=

17

．（10分）
设三棱锥A-PBC的高为h，则因为V_A-PBC=V_P-ABC，所以

1

3

S△PBC•h=

8

3

，（11分）
所以

17

3

h=

8

3

，解得h=

8 17

17

．
即三棱锥A-PBC的高为

8 17

17

（12分）

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．