Question

设F₁、F₂为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F₂且与椭圆交于A，B两点，若△ABF₁构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e²=（　　）

• A、2-

  3

• B、3-

  2

• C、11-6

  3

• D、9-6

  2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：可设|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，若△ABF₁构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=

2

m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．

解答： 解：可设|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，
若△ABF₁构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，
则|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=

2

m，
由椭圆的定义可得△ABF₁的周长为4a，
即有4a=2m+

2

m，即m=2（2-

2

）a，
则|AF₂|=2a-m=（2

2

-2）a，
在直角三角形AF₁F₂中，
|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²，
即4c²=4（2-

2

）²a²+4（

2

-1）²a²，
即有c²=（9-6

2

）a²，
即有e²=

c2

a2

=9-6

2

．
故选D．

点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键．