Question

已知函数f（x）=x•sinx，有下列三个结论：
①存在常数T＞0，对任意的实数x，恒有f（x+T）=f（x）成立；
②对任意给定的正数M，都存在实数x₀，使得|f（x₀）|≥M；
③直线y=x与函数f（x）的图象相切，且切点有无数多个．
则所有正确结论的序号是（　　）

• A、①
• B、②
• C、③
• D、②③

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：①研究的是函数的周期性，采用举对立面的形式说明其不成立；
②利用|sinx₀|≤1，可得对任意给定的正数M，都存在实数x₀，使得|f（x₀）|≥M，故正确；
③由于f′（x）=sinx+xcosx，直线y=x与函数f（x）的图象相切，则sinx+xcosx=1，x=

π

2

是它的一个解，根据周期性，可得切点有无数多个．

解答： 解：①当x=2kπ+

π

2

时，f（x）=x，随着x的增大函数值也在增大，所以不会是周期函数，故错误；
②∵|sinx₀|≤1，∴对任意给定的正数M，都存在实数x₀，使得|f（x₀）|≥M，故正确；
③由于f′（x）=sinx+xcosx，直线y=x与函数f（x）的图象相切，则sinx+xcosx=1，x=

π

2

是它的一个解，根据周期性，可得切点有无数多个，故正确．
故选：D．

点评：本题考查导数的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．