Question

7．如果f（x）对?x∈R，f（1+x）=f（-x），且x≥$\frac{1}{2}$时，f（x）=log₂（3x-1），求f（x）．

Answer 1

分析 由题意可知，函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，分别设出y=log₂（3x-1）（x$≥\frac{1}{2}$）上的任意一点为P₁（x₁，y₁）及点P₁关于直线x=$\frac{1}{2}$的对称点为P（x，y），利用中点坐标公式得到$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1-x}\\{{y}_{1}=y}\end{array}\right.$，再由P₁（x₁，y₁）在曲线y=log₂（3x-1）上求得f（x）．

解答 解：由f（1+x）=f（-x），可知函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，
设y=log₂（3x-1）（x$≥\frac{1}{2}$）上的任意一点为P₁（x₁，y₁），点P₁关于直线x=$\frac{1}{2}$的对称点为P（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{x+{x}_{1}=1}\\{y={y}_{1}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1-x}\\{{y}_{1}=y}\end{array}\right.$，
∵P₁（x₁，y₁）在曲线y=log₂（3x-1）（x$≥\frac{1}{2}$）上，
∴y₁=log₂（3x₁-1），即y=log₂（3-3x-1）=log₂（2-3x）．
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（3x-1），x≥\frac{1}{2}}\\{lo{g}_{2}（2-3x），x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查曲线关于直线的对称曲线方程的求法，属中档题．