Question

如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2米，边坡的长为x米、倾角为锐角.
(1)当且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，求x的最小正整数值；
(2)当x=2时，试求灌溉渠的横截面面积的最大值.

Answer 1

（1）x的最小正整数值是3.
（2）灌溉渠的横截面面积的最大值是.

解：由已知得等腰梯形的高为xsin，上底长为2+2xcos，从而横截面面积S=(2+2+2xcos)·xsin=x²sincos+2xsin.
(1)当时，面积是(0,+∞)上的增函数，当x=2时，S=3<8；当x=3时，S=. 所以，灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，x的最小正整数值是3.
(2)当x=2时，S=4sincos+4sin，S=4cos²-4sin²+4cos
=4(2cos²+cos-1)=4(2cos-1)·(cos+1)，由S=0及是锐角，得. 当0<<时，S>0，S是增函数；当<<时，S<0，S是减函数。所以，当=时，S有最大值.
综上所述，灌溉渠的横截面面积的最大值是.