Question

4．用[x]表示不超过实数x的最大整数，则[sin10°]+[sin20°]+[sin30°]+…+[sin2000°]=-81．

Answer 1

分析 根据新定义、正弦函数的值域，以及函数y=f（x）=sin（x•10°）的最小正周期为36，求得要求式子的值．

解答 解：由于函数y=f（x）=sin（x•10°）的最小正周期为$\frac{360°}{10°}$=36，
故36也是函数y=f（x）=sin[（x•10°）]的周期．
当x∈[1，18]时，只有f（9）=1，其余的均为0，
故f（1）+f（2）+f（3）+…f（18）=1；
当x∈[19，36]时，只有f（36）=0，其余的均为-1，
故f（19）+f（20）+f（21）+…f（36）=-17；
∴[sin10°]+[sin20°]+[sin30°]+…+[sin360°]=1-17=-16．
则[sin10°]+[sin20°]+[sin30°]+…+[sin2000°]
=5•[f（1）+f（2）+f（3）+…f（36）]+f（1）+f（2）+f（3）+…f（20）
=5•（-16）+（1-1-1）=-81，
故答案为：-81．

点评 本题主要考查新定义，函数的周期性的应，属于中档题．