Question

【题目】已知函数，且．

（1）求函数的极值；

（2）当时，证明：．

Answer 1

【答案】（1）当时，函数有极大值，当时，函数有极小值；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求极值，可先求得导数，然后通过解不等式确定增区间，解不等式确定减区间，则可得极大值和极小值；（2）要证明此不等式，我们首先研究不等式左边的函数，记，求出其导数，可知在上单调递增，在上单调递减，，这是时最小值，，这是时的最大值，因此要证明题中不等式，可分类，和分别证明．

试题解析：（1）依题意，，

故，

令，则或； 令，则，

故当时，函数有极大值，当时，函数有极小值

（2）由（1）知，令，

则，

可知在上单调递增，在上单调递减，令．

① 当时，，所以函数的图象在图象的上方．

② 当时，函数单调递减，所以其最小值为最大值为2，而，所以函数的图象也在图象的上方．

综上可知，当时，．