Question

已知函数f（x）=2^x+a•2^-|x|（a∈R）满足f(log2(1+

2

))=2．若存在x₀∈[1，2]使得不等式2^xf（2x）+mf（x）≥0成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．[-5，+∞）

B．[- 257 17 ，+∞）

C．（-∞，-17]

D．（-∞，-15]

Answer 1

由题设函数f（x）=2^x+a•2^-|x|（a∈R）满足f(log2(1+

2

))=2．
得2log2(1+

2

)+a×2-|log2(1+

2

)|=2    ①
∵log2(1+

2

)＞0
∴①式可变为1+

2

+a×

1

1+ 2

=1+

2

+a（1-

2

）=2
故有1+a+

2

（1-a）=2，a（1-

2

）=1-

2

，解得a=1
所以   f（x）=2^x+2^-|x|
当存在x₀∈[1，2]时，使不等式2^xf（2x）+mf（x）≥0恒成立，即2^3x+2^-x+m（2^x+2^-x）≥0成立，
即2^4x+1+m（2^2x+1）≥0成立，即-m≤

24x+1

22x+1

=2^2x+1-2+

2

22x+1

≤

257

17

故m≥-

257

17

故应选B．