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    【题目】已知，函数.

    （1）是函数数的导函数，记，若在区间上为单调函数，求实数a的取值范围；

    （2）设实数，求证：对任意实数，总有成立.

    附：简单复合函数求导法则为.

    【答案】（1）

    （2）证明见解析

    【解析】

    （1）由题得，再对a分两种情况讨论结合导数得解；（2）不妨设，取为自变量构造函数，再证明，即证得.

    （1）由已知得，记，则.

    ①若，，在定义域上单调递增，符合题意；

    ②若，令解得，自身单调递增，

    要使导函数在区间上为单调函数，

    则需，解得，

    此时导函数在区间上为单调递减函数.

    综合①②得使导函数在区间上为单调函数的的取值范围是.

    （2）因为，不妨设，取为自变量构造函数，

    ，则其导数为

    在R上单调递增

    而且，

    所以，

    即.

    故关于的函数单调递增，

    即证得.

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