Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA=$\frac{1}{2}$，tanB=$\frac{1}{3}$，且最长边的长为1，则△ABC最短边的长为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由题意和两角和的正切公式易得tanC，可得c=1，b为最短边，由正弦定理可得．

解答 解：由题意可得tanC=-tan（A+B）
=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=-1，
∴C=135°，c为最长边，故c=1，
又∵0＜tanB=$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{2}$=tanA，
∴B为最小角，b为最短边，
∵tanB=$\frac{1}{3}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
由正弦定理可得b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查解三角形，涉及正弦定理和两角和的正切公式，属中档题．