Question

4．已知M，N为y轴正半轴上的两个动点，点P（异于原点O）为x轴上的一个定点，若以MN为直径的圆与圆（x-3）²+y²=4相外切，且∠MPN的大小恒为定值，则线段OP的长为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设以MN为直径的圆的圆心为O₂（0，a），半径为r，OP=t，由两圆外切和∠MPN的大小恒为定值可得．

解答 解：设以MN为直径的圆的圆心为O₂（0，a），半径为r，OP=t，
则tan∠OPM=$\frac{a-r}{t}$，tan∠OPN=$\frac{a+r}{t}$，
∴tan∠MPN=tan（∠OPN-∠OPM）
=$\frac{\frac{a+r}{t}-\frac{a-r}{t}}{1+\frac{a+r}{t}•\frac{a-r}{t}}$=$\frac{2rt}{{t}^{2}+{a}^{2}-{r}^{2}}$，
∵两圆外切，∴$\sqrt{{a}^{2}+9}$=|r+2|，
∴a²=（r+2）²-9，
∴tan∠MPN=$\frac{2rt}{{t}^{2}+{a}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{2t}{\frac{{t}^{2}-5}{r}+4}$，
∵∠MPN的大小恒为定值，∴t=$\sqrt{5}$
故答案为：$\sqrt{5}$

点评 本题考查圆与圆的位置关系，涉及两角差的正切公式，属中档题．