Question

已知△ABC的两顶点A、B分别是双曲线2x²-2y²=1的左、右焦点，且sinC是sinA、sinB的等差中项．
（Ⅰ）求顶点C的轨迹T的方程；
（Ⅱ）设P（-2，0），M、N是轨迹T上不同两点，当PM⊥PN时，证明直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件可得|BC|+|AC|=2|AB|=4，根据椭圆的定义，即可求得点C的轨迹T的方程；
（Ⅱ）设直线MN的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即PM⊥PN，利用向量知识，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：由条件知A （-1，0 ），B （1，0 ），且sinA+sinB=2sinC
∴|BC|+|AC|=2|AB|=4                            …（2分）
∴点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4的椭圆（不包括x轴上两点）．…（3分）
∴点C的轨迹T的方程是

x2

4

+

y2

3

=1 （x≠±2）…（5分）
（Ⅱ）证明：设M （x₁，y₁）、N （x₂，y₂），直线MN：x=my+b   …（6分）
由

x=my+b 3x2+4y2=12

，得 （3m²+4）y²+6mby+3b²-12=0…（7分）
∴y₁+y₂=-

6mb

3m2+4

，y₁y₂=

3b2-12

3m2+4

∵PM⊥PN，

PM

=（x₁+2，y₁），

PN

=（x₂+2，y₂）
∴

PM

•

PN

=（ x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=（my₁+b+2 ） （my₂+b+2）+y₁y₂=0…（9分）
整理，得（m²+1）y₁y₂+m （b+2）（y₁+y₂）+（b+2）²=0    …（10分）
∴（m²+1）•

3b2-12

3m2+4

+m （b+2）•（-

6mb

3m2+4

）+（b+2）²=0
化简，得7b²+16b+4=0                            …（11分）
解得b=-

2

7

或b=-2（舍去）                        …（12分）
故直线MN：x=my-

2

7

过定点 （-

2

7

，0 ）               …（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．