Question

【题目】如图1,在梯形ABCD中,,,,过A,B分别作CD的垂线,垂足分别为E,F,已知,,将梯形ABCD沿AE,BF同侧折起,使得平面平面ABFE,平面平面BCF,得到图2.

（1）证明:平面ACD;

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）

【解析】

（1）设,取AC中点M,连接OM，DM，可证明四边形DEOM为平行四边形 可得，即得证；

（2）建立如图空间直角坐标系，求解平面ADF，平面ADC的法向量，由二面角的向量公式即得解.

（1）设,取AC中点M,连接OM，DM

四边形ABFE为正方形 ∴为AF中点 ∵M为AC中点 ∴

∵平面平面ABFE

平面平面

平面ABFE

平面ADE

又∵平面平面BCF

∴平面平面ABFE 同理,平面ABFE

又∵, ∴

∴

∴四边形DEOM为平行四边形 ∴

∵平面ADC,平面ADC

∴平面ADC

（2）由题意EA，EF，ED两两垂直，以EA为x轴,EF为y轴,ED为z轴建立空间直角坐标系

∴,,,

设平面ADF的法向量为

∵,

∴

∴

设平面ADC的法向量为

∵

∴

∴

设二面角的平面角为θ,由图像得θ为锐角，

∴