Question

已知定义在区间[0，1]上的函数y=f（x）的图象如图所示，对于满足0＜x₁＜x₂＜1的任意x₁、x₂，给出下列结论：
①f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
③

f(x1)+f(x2)

2

＜f （

x1+x2

2

）．
其中正确结论的序号是

 

（把所有正确结论的序号都填上）．

Answer 1

分析：由函数的图象，我们可根据

f(x2)-f(x1)

x2-x1

（图象上任意两点之间的斜率）与1的大小判断①的对错；
根据得

f(x1)

x1

与

f(x2)

x2

（图象上任意两点与原点连线的斜率）的大小判断②的正误；
再根据函数图象是凸增的，我们可判断③的真假．

解答：解：由f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁，
可得

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞1，
即两点（x₁，f（x₁））与（x₂，f（x₂））连线的斜率大于1，
显然①不正确；
由x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）
得

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，
即表示两点（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂））与原点连线的斜率的大小，
可以看出结论②正确；
结合函数图象，
容易判断③的结论是正确的．
故答案：②③

点评：本题考查的知识点是函数的图象和直线的斜率，解答的关键是结合函数图象分析结论中式子的几何意义，然后进行判断．