【题目】如图,在四棱锥中,侧面
是等边三角形,且平面
平面
、E为
的中点,
,
,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)取中点F,连结
,
,先证四边形
为平行四边形,进而可得
,进而可得
平面
;
(2)建立空间直角坐标系,求出平面和平面
的法向量,利用两法向量所成角的余弦值可得二面角
的余弦值.
(1)如图,取中点F,连结
,
.
因为E为中点,
,所以
,
.
又因为,
,所以
,
,
所以四边形为平行四边形.
所以.
又因为平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)取中点O,连结
,
.
因为为等边三角形,所以
.
又因为平面平面
,平面
平面
,
所以平面
.
因为,
,
所以四边形为平行四边形.
因为,所以
.
如图建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
.
所以,
,
设平面的一个法向量为
,
则即
令
,则
,
显然,平面的一个法向量为
,
则即
令
,则
,
所以.
由题知,二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)=|2x﹣3|+|x+2|
(1)求不等式f(x)≤5的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)≤a﹣|x|在区间[﹣1,2]上恒成立,求实数a的取值范围
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆C过点(4,1),(0,1),(2,3),过点的直线与圆C交于M,N两点.
(1)若圆:
,判断圆C与圆
的位置关系,并说明理由;
(2)若,求
的值.
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【题目】在棱长为2的正方体中,点
是对角线
上的点(点
与
、
不重合),则下列结论正确的个数为( )
①存在点,使得平面
平面
;
②存在点,使得
平面
;
③若的面积为
,则
;
④若、
分别是
在平面
与平面
的正投影的面积,则存在点
,使得
.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,点在正方体
的棱
上(不含端点),给出下列五个命题:
①过点有且只有一条直线与直线
,
都是异面直线;
②过点有且只有一条直线与直线
,
都相交;
③过点有且只有一条直线与直线
,
都垂直;
④过点有无数个平面与直线
,
都相交;
⑤过点有无数个平面与直线
,
都平行;
其中真命题是____.
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【题目】已知离心率为的椭圆
的左顶点为A,且椭圆E经过
与坐标轴不垂直的直线l与椭圆E交于C,D两点,且直线AC和直线AD的斜率之积为
.
(I)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)求证:直线l过定点.
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